Question

已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，然后求導數，根據導函數的正負判斷函數的單調性進而可求出最小值．
（2）將f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立轉化為不等式a≤lnx+

1

x

對于x∈[1，+∞）恒成立，然后令g(x)=lnx+

1

x

，對函數g（x）進行求導，根據導函數的正負可判斷其單調性進而求出最小值，使得a小于等于這個最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在(0，

1

e

)單調遞減，在(

1

e

，+∞)單調遞增．
所以，當x=

1

e

時，f（x）取得最小值-

1

e

．
（Ⅱ）依題意，得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式a≤lnx+

1

x

對于x∈[1，+∞）恒成立．
令g(x)=lnx+

1

x

，
則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)．
當x＞1時，
因為g′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
故g（x）是（1，+∞）上的增函數，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、根據導數求函數的最值．導數是高等數學下放到高中的內容，是每年必考的熱點問題，要給予重視．