Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求證：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；
（Ⅱ）若；
（Ⅲ）已知，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱(chēng)，只需在圖象上任取一點(diǎn)A，求出其關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式也成立，即可證明成中心對(duì)稱(chēng)．利用以下結(jié)論：若f（x）+f（1-x）=1，則f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)也可證明．
（II）利用（I）的結(jié)論可知f（x）+f（1-x）=1，因此運(yùn)用倒序相加法的思想方法很容易解答本題．
（III）由（II）知，因此求得a_n，利用裂項(xiàng)相消法可以求得{a_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，于是由T_n＜λ（S_n+1+1）得到 λ與n的關(guān)系式進(jìn)一步利用函數(shù)與方程的思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，可解得λ 的取值范圍．
解答：證明：（Ⅰ）在函數(shù)f（x）圖象上任取一點(diǎn)M（x，y），M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N（x₁，y₁），
∴，∴①．
∵f（x）=，即②．
將①代入②得，=，
∴，∴N（x₁，y₁）也在f（x）圖象上，∴f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．
（直接證f（x）+f（1-x）=1得f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，也可給分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時(shí)，③，④
③+④得2S_n=n-1，∴．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)n≥2時(shí)，=，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，=；
∵當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，∴．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得，，∴，即．
令，則=，
又∵n∈N^*，∴，
∴當(dāng)時(shí)，即n=2時(shí)，最大，它的最大值是，∴．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象、不等式等綜合內(nèi)容，函數(shù)圖象成中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)的和，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點(diǎn)問(wèn)題--有關(guān)恒成立問(wèn)題．