已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(0)=1,b=-a-1,解關(guān)于x不等式f(x)<0;
(2)若f(x)的最小值為0,且a<b,設(shè)
b
a
=t
,請把
a+b+c
b-a
表示成關(guān)于t的函數(shù)g(t),并求g(t)的最小值.
分析:(1)由題意可得f(0)=c=1,又b=-a-1,可得f(x)=(x-1)(ax-1)下面由分類討論可得;
(2)由題意可的a>0且
4ac-b2
4a
=0,易得g(t)=
t2+4t+4
4(t-1)
(t>1),然后變形為
t-1
4
+
9
4(t-1)
+
3
2
,由基本不等式可得答案.
解答:解:(1)由題意可得f(0)=c=1,又b=-a-1,
所以f(x)=ax2+bx+c=ax2-(a+1)x+1=(x-1)(ax-1).
當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為:{x|
1
a
<x<1
};
當(dāng)0<a<1時(shí),不等式的解集為:{x|1<x<
1
a
};
當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為:{x|x<
1
a
或x>1};
當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為空集.
(2)因?yàn)閒(x)的最小值為0,所即b2=4ac
由因?yàn)?span id="gwg7s42" class="MathJye">
b
a
=t,故b=at,c=
at2
4
,故
a+b+c
b-a
=
a+at+
at2
4
at-a

=
t2+4t+4
4(t-1)
,又因?yàn)閍<b,所以
b
a
=t
>1故g(t)=
t2+4t+4
4(t-1)
(t>1)
所以g(t)=
t2+4t+4
4(t-1)
=
(t-1)2+6(t-1)+9
4(t-1)
=
t-1
4
+
9
4(t-1)
+
3
2

≥2
t-1
4
9
4(t-1)
+
3
2
=3,當(dāng)且僅當(dāng)
t-1
4
=
9
4(t-1)
,即t=4時(shí)取等號
故g(t)的最小值為3
點(diǎn)評:本題為二次函數(shù),二次不等式,基本不等式的綜合應(yīng)用,涉及分類討論的思想,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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