已知函數(shù)f（x）=
2x-1
2x+1
．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（Ⅱ）對任意的x∈R，不等式f（x）＜a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷并證明，注意步驟要規(guī)范；
（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的最大值，則問題可解．
解答： 解（Ⅰ）函數(shù)f（x）=
2x-1
2x+1
．定義域為R，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
設(shè)x1，x2是R內(nèi)任意兩個值，且x1＜x2．
則f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
①．
又因為x1＜x2，所以2x1＜2x2，又2x1+1＞0，2x2+1＞0．
所以①＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）是R上的增函數(shù)．
（Ⅱ）由題意，函數(shù)f（x）=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
．
顯然2x+1＞1，所以0＜
2
1+2x
＜2．
所以-1＜1-
2
1+2x
＜1．
即-1＜f（x）＜1．
所以，若f（x）＜a恒成立，只需a≥1．
點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，以及利用單調(diào)性研究最值，解決不等式恒成立問題的思路．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx的最小正周期為π，求ω的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（　　）
A、
5π
3
B、
4π
3
C、π
D、
π
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點A（3，1）的直線l與圓C：x2+y2-4y-1=0相切于點B，則
CA
•
CB
=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（
3
2
，-
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y

（1）求函數(shù)關(guān)系式S=f（t）；
（2）若函數(shù)S=f（t）在[1，+∞]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（-5，5），
b
=（-3，4），則（
a
-
b
）在
b
方向上的投影等于
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
5
+
y2
4
=1，過右焦點F2的直線l交橢圓于A、B兩點，若|AB|=
4
5
9
，求直線l的直線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則xy+yz+zx的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=xlnx-
1
2
mx2-x，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=-2時，求函數(shù)f（x）的所有零點；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案