Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)

（I）若在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；

（II）若，若函數(shù)在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍；

（III）設(shè)函數(shù)的圖象C₁與函數(shù)的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（I）

    ∴依題知恒成立，

    ，

        ………………4分

   （II）函數(shù)在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程

    ，在[1，3]上恰有兩個相異實根。

    令

   

   

故   ………………8分

   （III）設(shè)點

則PQ的中點R的橫坐標(biāo)

C₁在點M處的切線的斜率為

C₂在點N處的切線的斜率為，

假設(shè)C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則，

設(shè)   ………………①

令

則

上單調(diào)遞增，

故   ………………②

∵①與②矛盾，

∴假設(shè)不成立，故C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行。  …………12分