Question

求下列函數(shù)的最值與值域：

（1）y=4-;(2)y=2x-;

(3)y=x+;(4)y=.

Answer 1

（1）當(dāng)x=1時，y_min=2，當(dāng)x=-1或x=3時，y_max=4.故值域為［2，4］.（2）函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域為（-∞，1］(3) 函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最值(4) 無最大值.故值域為［，+∞）

解析:

（1）由3+2x-x²≥0得函數(shù)定義域為［-1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，從而，當(dāng)x=1時，y_min=2，當(dāng)x=-1或x=3時，y_max=4.故值域為［2，4］.

（2） 方法一  令=t(t≥0),則x=.∴y=1-t²-t=-（t+²+.

∵二次函數(shù)對稱軸為t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+²+是減函數(shù)，

故y_max=-(0+²+=1.故函數(shù)有最大值1，無最小值，其值域為（-∞，1］.

方法二  ∵y=2x與y=-均為定義域上的增函數(shù)，∴y=2x-是定義域為{x|x≤}上的增函數(shù)，

故y_max=2×=1,無最小值.故函數(shù)的值域為(-∞,1］.

(3)方法一  函數(shù)y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點對稱,故只討論x＞0時,即可知x＜0時的最值.

∴當(dāng)x＞0時,y=x+≥2=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取得.

當(dāng)x＜0時，y≤-4,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得.

綜上函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最值.

方法二   任取x₁,x₂,且x₁＜x₂,

因為f(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=

所以當(dāng)x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時，f(x)遞減.

故x=-2時，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)_最小值=f(2)=4,

所以所求函數(shù)的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞），無最大（小）值.

（4）將函數(shù)式變形為

y=,

可視為動點M（x,0）與定點A（0，1）、B（2，-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸的交點（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值點.

y_min=|AB|=，可求得x=時，y_min=.

顯然無最大值.故值域為［，+∞）.