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探究函數f(x)=2x+
8
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；函數f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數f(x)=2x+
8
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）思考：函數f(x)=2x+
8
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）
分析：（1）利用基本不等式，可得當且僅當x=2時，函數f(x)=2x+
8
x
的最小值為8．由此可得函數在（0，+∞）上的單調增區(qū)間，得到答案；
（2）設x1、x2∈（0，2）且x1＜x2，利用作差、因式分解、判斷符號的方法加以證明可得f（x1）＞f（x2），結合函數單調性的定義，可得函數在（0，2）上為減函數；
（3）根據函數在（0，+∞）上的單調性與最值，結合函數在{x|x≠0}上為奇函數，即可得到當x＜0時函數有最大值為-4．
解答：解：（1）∵x＞0，∴2x+
8
x
≥2
2x•
8
x
=8
當且僅當x=2時，函數f(x)=2x+
8
x
的最小值為8
由此可得函數在區(qū)間（0，2）上遞減；在區(qū)間（2，+∞）上遞增
故答案為：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）證明：設x1，x2是區(qū)間（0，2）上的任意兩個數，且x1＜x2，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+
8
x1
-(2x2+
8
x2
)
=2(x1-x2)+
8
x1
-
8
x2
=2(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
=
2(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
由此可得函數在（0，2）上為減函數．（10分）
（3）根據函數在{x|x≠0}上為奇函數，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下結論：
函數y=x+
4
x
，當x＜0時，有最大值
當x=-2時，ymax=-4．（12分）
點評：本題給出雙曲型函數，求函數的單調區(qū)間與最值．著重考查了基本不等式求最值、用定義證明函數的單調性等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減，函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間
 
上遞增；
（2）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)，當x=
 
時，y最小=
 
；
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：
x …
1
4
1
2
 1
3
2
 2
8
3
 4 8 16 …
 y … 16.25 8.5 5
25
6
 4
25
6
 5 8.5 16.25 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：
（1）若x1x2=4，則f（x1）
=
=
f（x2）（請?zhí)顚憽埃荆?，＜”號）；若函數f(x)=x+
4
x
，（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減，則在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增；
（2）當x=
2
2
時，f(x)=x+
4
x
，（x＞0）的最小值為
4
4
；
（3）試用定義證明f(x)=x+
4
x
，在區(qū)間（0，2）上單調遞減．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在探究函數f(x)=x3+
3
x
，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的最值中，
（1）先探究函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最值，列表如下：
x … 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 1 1.1 1.2 1.3 2 3 4 5 …
y … 30.00 15.01 6.13 4.63 4.06 4 4.06 4.23 4.50 9.50 28 64.75 125.6 …
觀察表中y值隨x值變化的趨勢，知x=
1
1
時，f（x）有最小值為
4
4
；
（2）再依次探究函數y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上以及區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情況（是否有最值？是最大值或最小值？），請寫出你的探究結論，不必證明；
（3）請證明你在（1）所得到的結論是正確的．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如表：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
（1）根據上表判斷函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間（0，2）上的單調性并給出證明；
（2）函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區(qū)間上（2，+∞）單調性如何？（不需證明）求出函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的最小值及相應x的值．

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