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已知函數f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在區(qū)間上[1，3]的函數值大于0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�
A、(
1
2
，1)
B、(
1
2
，
3
5
)
C、（1，+∞）
D、(0，
3
5
)
分析：設g（x）=（
1
a
-2）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（
1
a
-2）x+1是定義域上的單調函數，即
g(1)＞0
g(3)＞0
解得：0＜a＜
3
5
．所以(
1
a
-2)x+1＜ 1在區(qū)間上[1，3]恒成立，
所以
1
2
＜a＜
3
5
．
解答：解：設g（x）=（
1
a
-2）x+1，x∈[1，3]
所以g（x）=（
1
a
-2）x+1是定義域上的單調函數，
根據題意得
g(1)＞0
g(3)＞0
解得：0＜a＜
3
5

因為函數f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在區(qū)間上[1，3]的函數值大于0恒成立
所以loga[(
1
a
-2)x+1]＞0在區(qū)間上[1，3]恒成立
所以loga[(
1
a
-2)x+1]＞loga1在區(qū)間上[1，3]恒成立
因為0＜a＜
3
5

所以(
1
a
-2)x+1＜ 1在區(qū)間上[1，3]恒成立
即(
1
a
-2)x＜0在區(qū)間上[1，3]恒成立
所以
1
a
-2＜0
解得a＞
1
2

所以
1
2
＜a＜
3
5

所以實數a的取值范圍是
1
2
＜a＜
3
5
．
故選B．
點評：本題主要考查不等式的恒成立問題，解決此題的關鍵是準確的利用不等式的性質轉化不等式，利用充分條件得出最后的結果．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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