Question

【題目】下列命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）

（1）已知定點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；

（2）已知定點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條射線；

（3）當(dāng)1＜k＜4時(shí)，曲線C：=1表示橢圓；

（4）若動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線。

A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

（1）當(dāng)P不在直線F1F2上時(shí)或在直線F1F2上且在F1、F2兩點(diǎn)之外時(shí)，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，只有點(diǎn)P在直線F1F2上且在F1、F2兩點(diǎn)之間（或與F1、F2重合）時(shí)，符合題意．由此得到答案．

（2）根據(jù)條件結(jié)合雙曲線的定義只有點(diǎn)M在直線F1F2上且在F1、F2兩點(diǎn)之外時(shí)才滿足，由此得到一條射線．

（3）根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合橢圓、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可．

（4）把已知方程變形為，此式不滿足拋物線的定義，從而得到答案．

（1）∵|PF1|+|PF2|＝8，且|F1F2|＝8

∴|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，只有當(dāng)點(diǎn)P在直線F1F2上且在F1、F2兩點(diǎn)之間（或與F1、F2重合）時(shí)，符合題意．∴點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2．故（1）錯(cuò)誤．

（2）∵|F1F2|＝8，在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|﹣|MF2|＝8=|F1F2|，∴點(diǎn)M在直線F1F2上且在點(diǎn)F1F2的延長線上時(shí)符合題意．∴M點(diǎn)的軌跡是一條射線，故（2）正確．

（3）當(dāng)k時(shí)，4﹣k＝k﹣1，此時(shí)曲線表示為圓，∴（3）錯(cuò)誤．

（4）∵動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程5|3x+4y|，變形為，

∴上式表示的是動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（0，0）與定直線3x+4y＝0的距離相等，但定點(diǎn)（0，0）在定直線3x+4y＝0上，不滿足拋物線的定義，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線．故（4）錯(cuò)誤．

綜上，正確的只有（2），

故選：B．