Question

已知函數(shù)f(x)=(x2-x-

1

a

)eax（a＞0）．
（I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若不等式f(x)+

5

a

≥0對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）確定函數(shù)的最小值，再解不等式，即可得到a的取值范圍．

解答：解：對函數(shù)f（x）求導(dǎo)得：f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1）…（2分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f'（x）=e（x+2）（x-1）
令f'（x）＞0，解得 x＞1或x＜-2；
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜1
所以，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞），f（x）單調(diào)減區(qū)間為 （-2，1）．…（5分）
（Ⅱ） 令f'（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-

2

a

或x=1（16分）
當(dāng)a＞0時，列表得：

x	(-∞，- 2 a )	- 2 a	(- 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（8分）
對于x＜-

2

a

時，因為x2＞0，-x＞

2

a

，a＞0，所以x2-x-

1

a

＞0，∴f（x）＞0              …10 分
對于x≥-

2

a

時，由表可知函數(shù)在x=1時取得最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
所以，當(dāng)x∈R時，f(x)min=f(1)=-

1

a

ea…（11分）
由題意，不等式f(x)+

5

a

≥0對x∈R恒成立，
所以得-

1

a

ea+

5

a

≥0，解得0＜a≤ln5…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的最值．