Question

已知由正數(shù)組成的數(shù)列{a_n}，它的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=qa_n（q≠0），試判斷數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列還是等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，且S_n與

1

an

的等比中項(xiàng)為n（n∈N^*），求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（I）由已知

an+1

an

=q≠0可 得{a_n}為等比數(shù)列，
若S_n是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，若S_n是等差數(shù)列，則2S₂=S₁+S₃通過(guò)解方程可求 q，從而進(jìn)行判斷
（II）由已知得n2=Sn•

1

an

從而可得S_n=n²a_n3，S_n-1=（n-1）²a_n-1
兩式相減整理可得，

an

an-1

=

n-1

n+1

，得an=

1

n(n+1)

，利用裂項(xiàng)求和，再進(jìn)行求解極限即可．

解答：解：（I）由

an+1

an

=q≠0 得{a_n}為等比數(shù)列，假設(shè)S_n是等比數(shù)列，則S₂²=S₁S₃，整理得q=0與q≠0矛盾，
所以S_n不是等比數(shù)列；
假設(shè)S_n是等差數(shù)列，則2S₂=S₁+S₃整理得q=1或q=0（舍）所以q=1時(shí)，S_n是等差數(shù)列，q≠1，S_n不是等差數(shù)列；
（II）由條件得n2=Sn•

1

an

，即S_n=n²a_n3，S_n-1=（n-1）²a_n-1，
相減得a_n（n²-1）=（n-1）²a_n-1（n≥2），

an

an-1

=

n-1

n+1

得an=

1

n(n+1)

，
所以S_n=n²a_n=

n2

n2+n

得

lim

n→∞

Sn=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差、等比數(shù)列的應(yīng)用，裂項(xiàng)求和及數(shù)列的極限的求解，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．