Question

設(shè)a∈R，討論關(guān)于x的方程x³+3x²-a=0的相異實根的個數(shù)？

Answer 1

解∵設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3x²-a，求導(dǎo)函數(shù)得f'（x）=3x²+6x
∴f'（x）=0的兩根分別為x₁=-2，x₂=0
∵x＜-2或x＞0時，f'（x）＞0；-2＜x＜0時，f'（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-2，0）；增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）
因此，函數(shù)f（x）的極大值是f（-2）=4-a，極小值是f（0）=-a
作出函數(shù)的草圖，如右圖所示，可得
（1）當(dāng)4-a＜0或-a＞0時，即a＜0或a＞4時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸只有一個交點，
可得原方程只有一個根．
（2）當(dāng)4-a=0或-a=0時，即a=0或a=4時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個交點，即原方程有兩個相異實根．
（3）當(dāng)0＜a＜4時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個交點，原方程有三個相異實根．
分析：設(shè)方程左邊對應(yīng)三次多項式函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的極大值是f（-2）=4-a，極小值是f（0）=a．由此結(jié)合函數(shù)的圖象觀察，進行分類討論即可得到各種情況下原方程的實數(shù)根的個數(shù)．
點評：本題給出含有字母參數(shù)的三次方程，討論方程根的個數(shù)．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)屬于和三次多項式的極值求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．