Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項積為T_n，T_n=1-a_n；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，S_n=1-b_n，
(Ⅰ)設(shè)，
①證明數(shù)列{c_n}成等差數(shù)列；
②求數(shù)列{a_n}的通項公式；
(Ⅱ)若T_n（nb_n+n-2）≤kn對n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)①由，得，
，
即，
又，
所以，數(shù)列{c_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列。
②，
。
(Ⅱ)因為S_n=1-b_n，S₁=1-b₁=b₁，
所以b₁=，S_n-1=1-b_n-1(n≥2)，S_n-S_n-1=b_n-1-b_n，2b_n=b_n-1(n≥2)，
所以數(shù)列{b_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以。
因為對n∈N*恒成立，
所以對n∈N*恒成立，
即對n∈N*恒成立，
設(shè)，
則，
因為，
所以f（n）＞f（n+1），
所以，當(dāng)n∈N*時，f（n）單調(diào)遞減，
設(shè)，則，
，
所以，當(dāng)1≤n＜4時，g(n)單調(diào)遞增；g(4)=g(5)；當(dāng)n≥5時，g(n)單調(diào)遞減；
設(shè)L(n)=f(n)+g(n)，則 L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞……，
所以L(3)最大，且，
所以，實數(shù)k的取值范圍為。