Question

已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+

π

6

)-4acos2x+3a+b，在[0，

π

2

]上的值域為[0，3]
（1）求f（x）的解析式．
（2）當a＜0時，求f（x）圖象的對稱中心．
（3）當a＞0時，指出函數(shù)f（x）圖象怎樣由y=2sinx圖象變換而來．（不畫圖、只需說明變換步驟）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角公式對解析式進行化簡整理，再結合∈[0，

π

2

]，上的值域為[0，3]，求出a，b即可得到f（x）的解析式．
（2）直接利用上面的結論，再結合正弦函數(shù)對稱中心的求法即可得到f（x）圖象的對稱中心．
（3）直接利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律以及伸縮變換規(guī)律即可得到結論．

解答：解：（1）因為f（x）=2asin（2x+

π

6

）-4acos²x+3a+b
=2a[sin（2x+

π

6

）-cos2x）+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+a+b．
因為x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
當a＞0時，由

2a+a+b=3 2a×(- 1 2 )+a+b=0

⇒

a=1 b=0

⇒f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
當a＜0時，由

2a×(- 1 2 )+a+b=3 2a+a+b=0

⇒

a=-1 b=3

⇒f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
（2）因為a＜o時，f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
令2x

π

6

-=kπ⇒x=

kπ

2

+

π

12

．k∈Z．
所以f（x）圖象的對稱中心：(

kπ

2

+

π

12

，2)（k∈Z）
（3）因為a＞0時，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
把y=2sinx的圖象相右平移

π

6

個單位得到：y=2sin（x-

π

6

），再各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

倍得到：y=2sin（2x-

π

6

），再整體向上平移1個單位即可得到：y=2sin（2x-

π

6

）+1．

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．平移變換時注意都是對單個的x或y來運作的．