Question

修建一儲(chǔ)糧倉(cāng)庫(kù),形狀如圖所示,底部為圓柱形,頂部為半球 形, 倉(cāng)庫(kù)側(cè)面的每平方米造價(jià)是底面每平方米造價(jià)的4倍,頂部的每平方米造價(jià)是底面每平方米造價(jià)的5.5倍, 已知倉(cāng)庫(kù)底面的每平方米造價(jià)為15元,若修建倉(cāng)庫(kù)的總費(fèi)用為9萬(wàn)元, 問倉(cāng)庫(kù)底面半徑為多少米時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大, 最大容積是多少(π取3計(jì)算)?

Answer 1

解:設(shè)倉(cāng)庫(kù)底部圓柱的底面半徑為R,高為h,根據(jù)題意,得

15(πR²+4×2πRh+5.5×2πR²)=90000 ,

∴   15(3R²+4×2×3×Rh+5.5×2×3×R²)=90000 ,

3R²+2Rh=500.

倉(cāng)庫(kù)的容積V=πR²h+πR³=3R²h+2R³=-R³+3×250R.

求導(dǎo),得V′=-R²+3×250.

令V′=0,解得,R=10.

當(dāng)0<R<10時(shí), V′>0,函數(shù)V=-R³+3×250R單調(diào)遞增,當(dāng)R>10時(shí),

V′<0, 函數(shù)V=-R³+3×250R單調(diào)遞減,故當(dāng)R=10時(shí),V有最大值,且V的最大值為5000.

答:當(dāng)倉(cāng)庫(kù)的底面半徑為10米時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大,最大容積為5000米³