3.已知過點A(0,1)的直線l,斜率為k,與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩個不同點.
(Ⅰ)求實數(shù)k取值范圍;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$,其中O為坐標原點,求|MN|

分析 (Ⅰ)由題意可得,直線l的斜率存在,用點斜式求得直線l的方程,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值,可得滿足條件的k的范圍.
(Ⅱ)由題意可得,經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1,代入圓C的方程化簡,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求得x1+x2 和x1•x2 的值,可得y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)的值,由x1•x2+y1•y2=12,解得k的值,從而求|MN|.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得,直線l的斜率存在,
設過點A(0,1)的直線方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.
由已知可得圓C的圓心C的坐標(2,3),半徑R=1.
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$<1,解得:$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$<k<$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$.
故當$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$<k<$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$時,過點A(0,1)的直線與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N兩點.
(Ⅱ)由題意可得,經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1,代入圓C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,
可得 (1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,
設M(x1,y1);N(x2,y2),則x1+x2=$\frac{4(k+1)}{{k}^{2}+1}$,x1•x2=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$,
∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$,
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1•x2+y1•y2=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$=12,解得k=1,
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}-4•\frac{7}{2}}$=2.

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用,一元二次方程根與系數(shù)的關系,屬于中檔題.

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