Question

【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB= AC = AA1=2，M，N分別是A1B1，BC的中點．

（1）證明：MN∥平面ACC1A1；

（2）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）設(shè)AC的中點為D，連接DN，A1D，只要證明A1D∥MN，即可證明MN∥平面ACC1A1；（2）作出二面角M﹣AN﹣B的平面角，通過解三角形可求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．

詳解：

（1）證明：設(shè)AC的中點為D，連接DN，A1D

∵D，N分別是AC，BC的中點，∴

又∵，

∴，∴四邊形A1DNM是平行四邊形

∴A1D∥MN

∵A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1

∴MN∥平面ACC1A1

（2）如圖，設(shè)AB的中點為H，連接MH，

∴MH∥BB1

∵BB1⊥底面ABC，∴MH⊥底面ABC

在平面ABC內(nèi)，過點H做HG⊥AN，垂足為G

連接MG，∵AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H

∴AN⊥平面MHG，則AN⊥MG

∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角

∵MH=BB1=2，

由AB=AC，∠BAN=45°，得HG=，所以

所以cos∠MGH=∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是