(在下列兩題中任選一題,若兩題都做,按第①題給分)
①若曲線C1:θ=
π
6
(ρ∈R)與曲線C2
x=a+
2
cosθ
y=
2
sinθ
為參數(shù),a為常數(shù),a>0)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,且|AB|=2,則實(shí)數(shù)a的值為
2
2

②已知a2+2b2+3c2=6,若存在實(shí)數(shù)a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為
{x|-7<x<5}
{x|-7<x<5}
分析:①曲線C1:θ=
π
6
(ρ∈R)是過(guò)極點(diǎn)傾斜角為
π
6
的射線,所在直線的方程是y=
3
3
x,曲線C2
x=a+
2
cosθ
y=
2
sinθ
為參數(shù),a為常數(shù),a>0)是圓心為(a,0),半徑為
2
的圓,由|AB|=2,得
|
3
a-3×0|
3+9
=1
,由此能求出a.
②因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù),且a2+2b2+3c2=6根據(jù)柯西不等式得到|a+2b+3c|≤6,a+2b+3c的最大值為6,a+2b+3c的最小值為-6.所以使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立的條件是|x+1|<6,由此能求出x的范圍.
解答:解:①∵曲線C1:θ=
π
6
(ρ∈R)是過(guò)極點(diǎn)(0,0)且傾斜角為
π
6
的直線,
∴曲線C1所在直線的方程是y=
3
3
x,
∵曲線C2
x=a+
2
cosθ
y=
2
sinθ
為參數(shù),a為常數(shù),a>0)是圓心為(a,0),半徑為
2
的圓,
∴由|AB|=2,得圓心(a,0)到曲線C1y=
3
3
x的距離d=
2-1
=1,
由點(diǎn)到直線的距離公式,得
|
3
a-3×0|
3+9
=1
,
解得a=±2.
∵a>0,
∴a=2.
故答案為:2.
②因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù),且a2+2b2+3c2=6
根據(jù)柯西不等式(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2
故有(a2+2b2+3c2)(12+(
2
) 2
+(
3
2)≥(a+2b+3c)2
故(a+2b+3c)2≤36,即|a+2b+3c|≤6,
即a+2b+3c的最大值為6,a+2b+3c的最小值為-6;
∴使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立的條件是|x+1|<6,
解得{x|-7<x<5}.
故答案為:{x|-7<x<5}.
點(diǎn)評(píng):第①題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)到直線 的距離公式的靈活運(yùn)用.
第②題考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意含絕對(duì)值不等式的解法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
A.不等式選做題)不等式x+|2x-1|<a的解集為φ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

B.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若直線3x+4y+m=0與曲線ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選做題(請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則接所做的第一題計(jì)分)
(l)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1參數(shù)方程
x=cosa
y=1+sina
(a為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,曲線C2的方程為p(cosθ-sinθ)+1=0,則曲線C1與 C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
2
2

(2)(不等式選做題)若關(guān)于x的不等式ax2-|x-1|+2a<0的解集為空集,則a的取值范圍是
a
3
+1
4
a
3
+1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選做題:請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答.若兩題都做,則按做的第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分.
(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ+4cosθ,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為
x2+y2-4x-2y=0
x2+y2-4x-2y=0

(2)(不等式選擇題)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,則|x-2y+1|的最大值為
5
5

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(2012•黃岡模擬)(選做題:請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
(A)如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長(zhǎng)線一點(diǎn),CD切半圓于D,CD=
3
,DE⊥AB
,垂足為E,且E是OB的中點(diǎn),則半圓的半徑長(zhǎng)為
1
1

(B)在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心為(6,
π
2
)
,半徑為5,直線θ=α(0≤α≤
π
2
,ρ∈R)
被圓截得的弦長(zhǎng)為8,則α的值等于
π
3
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•江西模擬)(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答,如果多做則按所做的第一題評(píng)分)
A(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 已知圓ρ=3cosθ,則圓截直線
x=2+2t
y=1+4t
(t是參數(shù))所得的弦長(zhǎng)為
3
3

B(不等式選做題) 若關(guān)于x的不等式|x|+|x-1|≤a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[1,+∞)
[1,+∞)

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