設f（x）=
2x-1
2x+1
．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（Ⅱ）求證對任意非零實數(shù)x，都有
f(x)
x
＞0．
分析：（Ⅰ）由于 f（x）=1-
2
2x+1
，設x1＜x2，計算 f（x1）-f（x2）=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
＜0，即 f（x1）＜f（x2），可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由于當x＞0時，2x-1＞0，f（x）=
2x-1
2x+1
＞0；當x＜0時，2x-1＜0，f（x）=
2x-1
2x+1
＜0，命題得證．
解答：解：（Ⅰ）由于 f（x）=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，設x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=（1-
2
2x1+1
）-（1-
2
2x2+1
）=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
＜0，即 f（x1）＜f（x2），故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由于當x＞0時，2x-1＞0，f（x）=
2x-1
2x+1
＞0；當x＜0時，2x-1＜0，f（x）=
2x-1
2x+1
＜0，
∴對任意非零實數(shù)x，都有
f(x)
x
＞0．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15、設函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為DJ，DE．且DJ?DE，若對于任意x∈DJ，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在DE上的一個延拓函數(shù)．設f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是奇函數(shù)，則g（x）=
xln|x|
；設f（x）=2x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則g（x）=
2-|x|-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
2x+1(x≥0)
f(x+1)(x＜0)
，則f（-1）=（　　）
A、1
B、2
C、4
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的較小值．設f（x）={2x-1，
1x
}（x＞0），則f（x）的最大值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
2x+1，x≥1
2-x，x＜1
，則f（f（-2））的值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F（x）=2
x
+1，若F′（x）=f（x），則∫
 
2
0
f（2x）dx值為（　�。�
A、2
2
B、
2
C、2
D、1

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