Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1．
（Ⅰ）求證：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱錐A-A₁CB的體積；
（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面A₁BC內(nèi)找到與直線B₁C₁平行的直線就可以了；
（2）解決三棱錐求體積的問題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對應(yīng)的底面，切忌不審圖形，盲目求解．如此題中要求三棱錐A-A₁CB的體積，不要直接的就把面A₁CB看成底面，再去尋找它的高，這樣子高很難作出來，并且還要證明；實際上，只要稍微觀察一下就知道，如果以ACB為底面的話，則很顯然的AA₁即為高，計算就簡單多了．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．此題中因為A₁A⊥平面ABC，所以在平面ABC內(nèi)過點A向BC做垂線AD，交BC延長線于點D，連接A₁D，所以A₁D⊥BD．則∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
方法二：
在直棱柱、直棱錐、直棱臺中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點，分別以CA、CC₁為x、z軸，以及CA的垂線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．
解答：解：方法1：
（Ⅰ）
∵在三棱柱中C₁B₁∥CB，BC?平面A₁BC且B₁C₁?平面A₁BC
則B₁C₁∥平面A₁BC．（3分）
（Ⅱ）解：因為V_A-A1CB=V_A1-ABC=×1×（×1×1×sin120°）=．（6分）
（Ⅲ）解：在平面ABC內(nèi)過點A向BC做垂線AD，
交BC延長線于點D，連接A₁D．
因為A₁A⊥平面ABC，
所以A₁D⊥BD．
所以∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
容易求出AD=，
所以tan∠A₁DA===．
即二面角A₁-CB-A的正切值是（13分）

方法2：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有
A（1，0，0），A₁（1，0，1），B（-，，0），
B₁（-，，1），C₁（0，0，1）．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）略．
（Ⅲ）解：
顯然n₁=（0，0，1）是平面ABC的一個法向量．
設(shè)n₂=（x，y，z）是平面A₁BC的法向量，
則n₂•=0，且n₂•=0．
即x+z=0，且-x+y=0．
解得平面A₁BC的一個法向量是n₂=（1，，-1）．
因為n₁•n₂=-1，|n₁|=1，|n₂|=，
設(shè)二面角A₁-CB-A的大小為β，
則cos（π-β）=-=-．所以cosβ=．
所以tanβ=（13分）
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．此題條件及結(jié)論都比較清楚，建議使用方法一求解．