Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x＞1時，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求證：0＜x＜1時，f（x）＞0；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性并證明之；
（4）若f（

1

2

）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=0，從而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）為偶函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，得

x1

x2

＞1，結(jié)合式子進(jìn)行變形，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進(jìn)而由定義得出函數(shù)的單調(diào)性；（4）
（3）由（1）和（2），結(jié)合單調(diào)性得0＜x＜1時，f（x）＞f（1）=0；
（4）根據(jù)條件將原不等式轉(zhuǎn)化為f[x（2-x）]＜f（

1

2

），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和定義域可得關(guān)于x的不等式，再進(jìn)行求解．

解答：解：（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
證明如下：設(shè)x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，
∵當(dāng)x＞1時f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂•

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
則f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)；
∴0＜x＜1時，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

2

）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化為：f[x（2-x）]＜f（

1

2

），
∵f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)，
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 2

，解得0＜x＜1+

2

2

，
故所求的解集為：（0，1+

2

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形，證明函數(shù)單調(diào)性的能力．