Question

3．已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)滿足：f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）²，當-1≤x＜3時，f（x）=x．
（1）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）；
（2）確定y=f（x）的圖象與y=lg|$\frac{1}{x}$|的圖象的交點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得f（x+6）=f（x），求出函數(shù)的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后運用周期性求f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）的值；
（2）由題意求出f（x）的解析式，化簡y=lg|$\frac{1}{x}$|，在同一個坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到答案．

解答 解：由題意知，f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，則f（x+6）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=f（x），
∴f（x+6）=f（x），且函數(shù)f（x）的周期6，
∵-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）²，當-1≤x＜3時，f（x）=x，
∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（6-3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（6-2）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
f（5）=f（6-1）=f（-1）=-（-1+2）²=-1，f（6）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）=335+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=337；

（2）由題意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，-1≤x＜3}\\{-（x+2）^{2}，-3≤x＜-1}\end{array}\right.$，且周期是6，
y=lg|$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{-lgx，x＞0}\\{-lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，且此函數(shù)是偶函數(shù)，
在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可得，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)是10個．

點評 本題考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)的圖象問題，考查數(shù)形結合思想，畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵．