Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=a_n+p•3ⁿ+1，n∈N^*，p為常數(shù)a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列．
（1）求p的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，b_n=

n2

an-n

，求{b_n}的最大項．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的關(guān)系即可求p的值及數(shù)列|a_n|的通項公式；
（2）根據(jù)條件求出數(shù)列{b_n}的通項公式，結(jié)合數(shù)列的特點即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）解：因為a₁=4，a_n+1=a_n+p•3ⁿ+1，
所以a₂=a₁+p•3+1=3p+5，a₃=a₂+p•3²+1=12p+6．
因為a₁，a₂+6，a₃成等差數(shù)列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依題意，a_n+1=a_n+2•3ⁿ+1，
所以當(dāng)n≥1時，a_n+1-a_n=2•3ⁿ+1，
則a₂-a₁=2•3¹+1，
a₃-a₂=2•3²+1，
…
a_n-a_n-1=2•3^n-1+1，
相加得a_n-a₁=2•（3+3²+3³+…+3^n-13）+n-1=2×

3(1-3n-1)

1-3

+n-1，
所以a_n=3ⁿ+n，
當(dāng)n=1時，a₁=3+1=4也成立，
所以a_n=3ⁿ+n．
（2）證明：因為a_n=3ⁿ+n，所以b_n=

n2

an-n

=

n2

3n+n-n

=

n2

3n

．
因為b_n+1-b_n=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，
若b_n+1-b_n＜0得-2n²+2n+1＜0，
解得n＞

1+ 3

2

，
即當(dāng)n≥2時，b_n+1＜b_n．
又因為b₁=

1

3

，b₂=

4

9

，所以b_n≤

4

9

．
故{b_n}的最大項為b₂=

4

9

．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．