考點:數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系,結(jié)合等差數(shù)列的關(guān)系即可求p的值及數(shù)列|an|的通項公式;
(2)根據(jù)條件求出數(shù)列{bn}的通項公式,結(jié)合數(shù)列的特點即可得到結(jié)論.
解答:
解:(1)解:因為a
1=4,a
n+1=a
n+p•3
n+1,
所以a
2=a
1+p•3+1=3p+5,a
3=a
2+p•3
2+1=12p+6.
因為a
1,a
2+6,a
3成等差數(shù)列,所以2(a
2+6)=a
1+a
3,
即6p+10+12=4+12p+6,所以p=2.
依題意,a
n+1=a
n+2•3
n+1,
所以當n≥1時,a
n+1-a
n=2•3
n+1,
則a
2-a
1=2•3
1+1,
a
3-a
2=2•3
2+1,
…
a
n-a
n-1=2•3
n-1+1,
相加得a
n-a
1=2•(3+3
2+3
3+…+3
n-13)+n-1=
2×+n-1,
所以a
n=3
n+n,
當n=1時,a
1=3+1=4也成立,
所以a
n=3
n+n.
(2)證明:因為a
n=3
n+n,所以b
n=
=
=
.
因為b
n+1-b
n=
-
=
,
若b
n+1-b
n<0得-2n
2+2n+1<0,
解得n>
,
即當n≥2時,b
n+1<b
n.
又因為b
1=
,b
2=
,所以b
n≤
.
故{b
n}的最大項為b
2=
.
點評:本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強.