Question

若對任意x∈（1，3）的實(shí)數(shù)，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3），將問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈（1，3）的實(shí)數(shù)，使得不等式f（x）≥0恒成立．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值大于等于0即可．
解答：解：設(shè)f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f′（x）=6x²+6x-36，
由f′（x）=0得x=2，x=-3．
∵x∈（1，3）
∴當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2處取得最小值f（2）=-44-6a≥0
∴…（10分）
點(diǎn)評：本題考查的重點(diǎn)是恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)求最值．