已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式．
（1）判斷其奇偶性；
（2）指出該函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性并證明；
（3）利用（1）、（2）的結(jié)論，指出該函數(shù)在（-1，0）上的增減性．

解：（1）函數(shù)的定義域為R
∵
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
證明：任取x1、x2滿足0＜x1＜x2＜1則
f（x1）-f（x2）==
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴f（x1）＜f（x2）
因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是遞增函數(shù)；
（3）由于f（x）是R上的奇函數(shù)，在（0，1）上又是遞增函數(shù)，
因而該函數(shù)在（-1，0）上也是增函數(shù)．
分析：（1）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進行判斷得到結(jié)論；
（2）任取x1、x2滿足0＜x1＜x2＜1，并做出f（x1）-f（x2）的差，利用實數(shù)的性質(zhì)，判斷出f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案；
（3）由（1）可得函數(shù)為奇函數(shù)，由（2）可得函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及判定方法是解答本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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