Question

已知函數(shù)f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx．
（1）請(qǐng)用cosx表示f（x）；
（2）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，f（x）的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，即可用cosx表示f（x）；
（2）換元t=cosx，0≤x≤

π

2

則t∈[0，1]，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)閉區(qū)間上的最小值問題，通過(guò)分類

a

2

＜ 0，0≤

a

2

≤1，

a

2

＞1，分別利用f（x）的最小值是-2，求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx=（a-1）²-2+cos²x-2acosx=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．…（3分）
（2）令t=cosx，0≤x≤

π

2

則t∈[0，1]，y=2(t-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，t∈[0，1]，…（5分）
①當(dāng)

a

2

＜ 0，即a＜0時(shí)，ymin=(a-1)2-2=-2，故a=1（舍）…．（7分）
②當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，ymin=

a2

2

-2a-1=-2．
解得a=2±

2

，取a=2-

2

…..…．…..（9分）
③當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，ymina2-4a+1=-2．
解得a=1（舍）或a=3…．（11分）
綜上，當(dāng)a=2-

2

或a=3…．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查換元法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．