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(12分)已知如圖(1)，梯形中，，，，、分別是、上的動點，且，設（）。沿將梯形翻折，使平面平面，如圖（2）。

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（Ⅲ）當取得最大值時，求二面角的正弦值．

解析：（Ⅰ）∵平面平面，，∴平面，

∴

∵，

∴平面。

又平面，

∴平面平面．  ……………………………………………………4分

（Ⅱ）∵平面，

∴………………………………………6

即時，有最大值．  ………………………………………………8分

（Ⅲ）(方法一)如圖，以E為原點，、、為軸建立空間直角坐標系，

 則，，，，

∴，，

設平面的法向量為，

則 ∴

設，則，，∴………………………………10分

平面的一個法向量為，

∴，……………………………11分

設二面角為，∴

∴二面角的正弦值為…………………………………………12分

(方法二)作于，作于，連

由三垂線定理知，

∴是二面角的平面角的補角．…………………………………9分

由∽，知，而，，，

∴

又，∴    

在中，。

∴二面角的正弦值為…………………………………12分  

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2011年湖南省長沙市一中高二上學期期末檢測數學文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知如圖所示的程序框圖(未完成)，設當箭頭a指向①時，輸出的結果為S＝m，當箭頭a指向②時，輸出的結果為S＝n，求m＋n的值．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年遼寧省高三第五次模擬理數試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.

(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大��；

(Ⅱ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.

 

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科目：高中數學 來源：2011年湖南省長沙市高二上學期期末檢測數學文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知如圖所示的程序框圖(未完成)，設當箭頭a指向①時，輸出的結果為S＝m，當箭頭a指向②時，輸出的結果為S＝n，求m＋n的值．

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分12分）已知如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，過D與PB垂直的平面分別交PB、PC于F、E.

   （1）求證：DE⊥PC；

   （2）當PA//平面EDB時，求二面角E—BD—C的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE.

（I）求異面直線PA與CD所成的角的大��；

（II）求證：BE⊥平面PCD；

（III）求二面角A—PD—B的大小.

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