Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)，有下列命題：
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（2）在區(qū)間（-∞，0）上，f（x）是減函數(shù)；
（3）函數(shù)y=f（x）的最小值是2；
（4）在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）是增函數(shù)．
其中正確的命題是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：由f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)是偶函數(shù)，知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
再由函數(shù)f（x）=|x|+

1

|x|

的單調(diào)性可判其他命題．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

x2+1

|x|

(x∈R，x≠0)，顯然f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故（1）正確；
當(dāng)x≠0時，f（x）=|x|+

1

|x|

，令t=|x|，則y=f（x）=t+

1

t

，故y′=1-

1

t2

令y′＞0時，t＞1；令y′＜0時，0＜t＜1；
可知當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f（x）單調(diào)遞增．
即在x=1處取到極小值為2，無極值．
故（2）錯誤，（3）不正確，（4）正確．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．