Question

已知橢圓的離心率為且過點（0，1）．
（I）求此橢圓的方程；
（II）已知定點E（-1，0），直線y=kx+2與此橢圓交于C、D兩點．是否存在實數(shù)k，使得以線段CD為直徑的圓過E點．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率的計算公式和a²=b²+c²及b=1即可得到a²得到橢圓的方程；
（II）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)以CD為直徑的圓過E點，則，將它們聯(lián)立消去x₁，x₂即可得出k的值．
解答：解：（I）根據(jù)題意，，解得．
∴橢圓方程為．
（II）將y=kx+2代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由直線與橢圓有兩個交點，∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，解得k²＞1．（*）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則，，（**）
若以CD為直徑的圓過E點，則，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，代入上式得
，
化為（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得
解得，滿足k²＞1．
所以存在使得以線段CD為直徑的圓過E點．
點評：熟練掌握橢圓的方程、離心率的計算公式和a²=b²+c²、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積與垂直的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．