Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x．（1）證明f（x）是偶函數(shù)；（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）用定義判斷函數(shù)的奇偶性．其步驟為先判斷定義域的對(duì)稱性，再判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，另外注意本題書寫的格式---先判斷后證明．
（2）用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟是任取兩個(gè)自變量，對(duì)其函數(shù)值作差，判斷其符號(hào)，得出單調(diào)性結(jié)論，注意本題書寫的格式---先判斷后證明．

解答：解：（1）證明：f（x）的定義域?yàn)镽，…（1分）
且對(duì)于任意x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)．…（4分）
（2）f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．…（5分）
證明如下：設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則△x=x₁-x₂＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+

1

2x1

)-(2x2+

1

2x2

)=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x1+x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)．
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，從而△y＜0，
所以f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查全面，一題多考，知識(shí)覆蓋面廣，技能性強(qiáng)．