Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣a﹣bx．
（1）當a=b=時，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+a+bx+（0＜x≤3），以其圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=0，b=﹣1時，方程2mf（x）=有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．
當時，，
．
令f'（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）的極大值為，此即為最大值．
（2），
所以，，在x₀∈（0，3]上恒成立，
所以，x₀∈（0，3]
當x₀=1時，取得最大值．
所以a≥．
（3）因為方程2mf（x）=有唯一實數(shù)解，
所以﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數(shù)解．
設(shè)g（x）=﹣2mlnx﹣2mx，則．
令g'（x）=0，得﹣mx﹣m=0．
因為m＞0，x＞0，
所以（舍去），，
當x∈（0，）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，）單調(diào)遞減，
當x∈（，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（，+∞）單調(diào)遞增．
當x=時，g'（）=0g（x），g（）取最小值g（）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（）=0．
則，即
所以2mln+m﹣m=0，
因為m＞0，所以2ln+﹣1=0．
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1，
因為當x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
所以h（x）=0至多有一解．
因為h（I）=0，所以方程的解為（）=1，
即，解得