Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，x≠0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的辦法，通過(guò)導(dǎo)數(shù)大于或小于0判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）先將|f（x）-1|化為|f（x）-1|=，從而原不等式化為＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0．令∅（x）=e^x-（1+a）x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，最后得到存在正數(shù)x=ln（1+a），使原不等式成立．
解答：解：（1）f′（x）==，-----------------（2分）
令h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=e^x+e^x（x-1）=xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）=xe^x＞0，∴h（x）是上的增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=0
故f′（x）=＞0，即函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．-----------------（6分）
（2）|f（x）-1|=||，
當(dāng)x＞0時(shí)，令g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1＞0-----------------（8分）
故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）-1|=，
原不等式化為＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0，-----------------（10分）
令∅（x）=e^x-（1+a）x-1，則∅′（x）=e^x-（1+a），
由∅（x）=0得：e^x=1+a，解得x=ln（1+a），
當(dāng)0＜x＜ln（1+a）時(shí)，∅′（x）＜0；當(dāng)x＞ln（1+a）時(shí)，∅′（x）＞0．
故當(dāng)x=ln（1+a）時(shí)，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），-----------------（12分）
令s（a）=-ln（1+a），a＞0則s′（a）=＜0．
故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0．
因此，存在正數(shù)x=ln（1+a），使原不等式成立．----------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的方法．