Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，點(diǎn)E為線段AD上的一點(diǎn)．現(xiàn)將△DCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，即可證明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足為H，連接EH，EC，并取AO中點(diǎn)F，連接EF，可得∠PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，從而求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：連接AC，BD交于點(diǎn)O，在四邊形ABCD中，
∵AB=AD=4，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足為H，連接EH，EC，并取AO中點(diǎn)F，連接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且，，
又PE=2，，設(shè)CH=x，則有，
又∵F為AO的中點(diǎn)，在Rt△EFH中，，EF=1
由勾股定理得，，解得，
∴，
∴直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．