Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t（t為非零常數(shù)），其前n項和為S_n，滿足a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，都有λa_n＞n（n+1）成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式求出a₂，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）整理得到

an+1

an

=3 （n≥2），由等比數(shù)列的通項公式求出n≥2時的通項，驗證n=1時不成立，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把a_n代入λa_n＞n（n+1），利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法把不等式恒等變形，分離參數(shù)λ，然后對t分類，利用數(shù)列的函數(shù)特性求得t在不同范圍內(nèi)的最值，則實數(shù)λ的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=t，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

an+1-

1

2

an，
即a_n+1=3a_n （n≥2），
又a₁=t≠0，
∴

an+1

an

=3 （n≥2），
又a₂=2S₁=2t，
∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{a_n}是以a₂為首項，3為公比的等比數(shù)列．
∴an=2t•3n-2 (n≥2)，
又∵a₁=t不適合上式，
∴an=

t (n=1) 2t•3n-2(n≥2)

；
（Ⅱ）當(dāng)t＞0時，λa_n＞n（n+1）成立，等價于λ大于

n(n+1)

an

的最大值．
當(dāng)n=1時，有λ＞

2

t

，
當(dāng)n≥2時，令bn=

n(n+1)

2t•3n-2

，
bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

n+1

2t•3n-1

(n+2-3n)=

1-n2

t•3n-1

＜0．
∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時，bn≤b2=

3

t

．
∴當(dāng)t＞0時，λ＞

3

t

．
當(dāng)t＜0時，λa_n＞n（n+1）成立，等價于λ大于

n(n+1)

an

的最小值．
當(dāng)n=1時，有λ＜

2

t

，
當(dāng)n≥2時，令bn=

n(n+1)

2t•3n-2

，
bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

n+1

2t•3n-1

(n+2-3n)=

1-n2

t•3n-1

＞0．
∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時，bn≥b2=

3

t

．
∴當(dāng)t＜0時，λ＜

3

t

．
綜上所述，當(dāng)t＞0時，λ＞

3

t

；
當(dāng)t＜0時，λ＜

3

t

．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式，考查了與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．