Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=4an+2n+1 ， n∈N*．
（1）求證：{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{na_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=4a_n+2n+1，可求得a₁=-1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1⇒3a_n+2=4a_n-1⇒3（a_n-2）=4（a_n-1-2），從而可證{a_n-2}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n=2-3×(

4

3

)n-1，令b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n=2（1+2+3+…+n）-3[1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1]，前者利用等差數(shù)列求和，后者利用錯(cuò)位相減法求和，再分別相加即可．

解答：解：（1）∵S_n=4a_n+2n+1，
∴S₁=4a₁+3，而S₁=a₁，
∴a₁=-1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（4a_n+2n+1）-[4a_n-1+2（n-1）+1]
=4a_n-4a_n-1+2，
∴3a_n+2=4a_n-1，
∴3a_n-6=4a_n-1-8，即3（a_n-2）=4（a_n-1-2），又a₁-2=-3，
∴{a_n-2}是以-3為首項(xiàng)，公比為

4

3

等比數(shù)列．
∴a_n-2=-3×(

4

3

)n-1，
∴a_n=2-3×(

4

3

)n-1．
（2）∵a_n=2-3×(

4

3

)n-1，令b_n=na_n，
則b_n=na_n=2n-3n×(

4

3

)n-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1]．
令C_n=1×(

4

3

)0+2×(

4

3

)1+3×(

4

3

)2+…+n×(

4

3

)n-1①，

4

3

C_n=1×(

4

3

)1+2×(

4

3

)2+…+（n-1）×(

4

3

)n-1+n×(

4

3

)n②，
①-②得：-

1

3

C_n=(

4

3

)0+(

4

3

)1+(

4

3

)2+…+(

4

3

)n-1-n×(

4

3

)n
=

1-( 4 3 )n

1- 4 3

-n×(

4

3

)n
=-3（1-(

4

3

)n）-n×(

4

3

)n
=（3-n）×(

4

3

)n-3，
∴C_n=（3n-9）×(

4

3

)n+9．
∴T_n=2×

n(1+n)

2

-3[（3n-9）×(

4

3

)n+9]
=-（9n-27）×(

4

3

)n+n²+n-27．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定與其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查分組求和與錯(cuò)位相減法求和的綜合應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．