Question

下列命題：

①中，若,則；

②若A，B，C為的三個內角，則的最小值為

③已知，則數列中的最小項為；

④若函數，且，則；

⑤函數的最小值為. 

其中所有正確命題的序號是        

 

Answer 1

【答案】

②③

【解析】

試題分析：①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理

得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin²A，cos2B=1-2sin²B，

所以cos2A＞cos2B，①錯誤．

②因為A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π

所以=1，

原式等價于

= ，

當且僅當，即α=2β時取等號．所以②正確．

③因為=2+，因為1≤≤3，

所以設t=，則1≤t≤3．因為函數y=t+-2在區(qū)間（0，4）上單調遞減，所以在[1，3]上單調遞減，因此，當t=3時，函數有最小值3+-2=，則對應數列{a_n}中的最小項為，所以③正確．

④令g（x）=，則函數g（x）的幾何意義為曲線上點與原點連線斜率的大�。�由題意可知，分別看作函數f（x）=log₂（x+1）圖象上的點（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點連線的斜率，由圖象可知，，所以④錯誤．

⑤因為，，問題轉化成點P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距離之和的最小值。原式等價為|PA|+|PB|的最小值，找出點A關于x軸的對稱點D（1，-2）．

則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=．

所以，⑤錯誤．故答案為：②③．

考點：正弦定理的應用，均值定理的應用，對號函數的性質，對數函數的圖象和性質。

點評：難題，本題綜合性較強，難度較大。靈活的對問題實施轉化，是解題的關鍵。