Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的通項公式．請指出n為何值時，S_n取得最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題設中所給的恒等式進行變換，先得到S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．與已知中S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．作差整理即可得到證明；
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．變形可得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90），此是一等比數(shù)列，求出它的通項則可以得到數(shù)列{S_n}的通項公式，對數(shù)列的相鄰兩項作差，研究其單調(diào)性即可得出S_n取得最小值時的n是1

解答：解：（1）∵S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
∴S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．
兩式作差得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即6（a_n+1-1）=5（a_n-1），即（a_n+1-1）=

5

6

（a_n-1），n∈N^*．
故{a_n-1}是等比數(shù)列
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．得S_n+1=n+1-5（S_n+1-S_n）-85，n∈N^*．
得6S_n+1=n+5S_n-84，即6[S_n+1-（n+1）]=5（S_n-n）-90，
即S_n+1-（n+1）=

5

6

（S_n-n）-15
整理得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90）
故{S_n-n+90}是一個等比數(shù)列，其公比為

5

6

，由于a₁=1-5a₁-85，得a₁=-14
故{S_n-n+90}的首項為-14-1+90=75
故S_n-n+90=75×(

5

6

)n-1，即S_n=n-90+75×(

5

6

)n-1，
由于S_n+1-S_n=1-

75

6

×(

5

6

)n-1，令S_n+1-S_n＞0，對n賦值驗證知n＞15時成立，即S_n其最小值是S₁₅

點評：本題考查等比關系的確定，求解本題的關鍵是根據(jù)題設中所給的恒成立的方程靈活變形得出形式為公比的形式，故此類題雖然比較抽象，但也有其規(guī)律可循，即變形的目標相對確定，解對本題要注意對數(shù)列的函數(shù)的特性的研究方法即對相鄰兩項作差確定其單調(diào)性，從而求了最小值，此方法不易引起初學者注意，切記．