Question

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的值；
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m＜M)，使得對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[，e])都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(e)=2得b=2；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=-ax+2+axlnx，從而f'(x)=alnx，
因?yàn)閍≠0，故：
(1)當(dāng)a＞0時(shí)，由f'(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1；
(2)當(dāng)a＜0時(shí)，由f'(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1；
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)。
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=-x+2+xlnx，f'(x)=lnx，
由(Ⅱ)可知，當(dāng)x在區(qū)間(，e)內(nèi)變化時(shí)，f'(x)，f(x)的變化情況如下表：

又，所以函數(shù)f(x)()的值域?yàn)閇1，2]，
據(jù)此可知，若則對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f(x)()都有公共點(diǎn)；
并且對每一個(gè)t∈(-∞，m)∪(M，+∞)，直線y=t與曲線y=f(x)()都沒有公共點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a=1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m=1，最大的實(shí)數(shù)M=2，使得對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f(x)()都有公共點(diǎn)。