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如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排，在路南側沿直線排，現要在矩形區(qū)域內沿直線將與接通．已知，，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的部分的排管費用為每米2萬元，設與所成的小于的角為．

（Ⅰ）求矩形區(qū)域內的排管費用關于的函數關系式；

（Ⅱ）求排管的最小費用及相應的角．

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）最小費用為萬元，相應的角為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把，，的長度分別用表示，分別求出費用相加即可；（Ⅱ）對（Ⅰ）中函數，用導數為工具，判斷其單調區(qū)間，求出最小值.

試題解析：（Ⅰ）如圖，過作，垂足為，由題意得，

故有，，．        4分

所以    5分

．       8分

（Ⅱ）設(其中)，

則．             10分

令得，即，得．              11分

列表

+

0

-

單調遞增

極大值

單調遞減

所以當時有，此時有．        15分

答：排管的最小費用為萬元，相應的角．             16分

考點：函數的應用、導數的應用.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排l1，在路南側沿直線排l2，現要在矩形區(qū)域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB=60m，BC=60
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m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為α．矩形區(qū)域內的排管費用為W．
（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線l1排，在路南側沿直線l2排，現要在矩形區(qū)域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成的小于90°的角為α．
（Ⅰ）求矩形區(qū)域ABCD內的排管費用W關于α的函數關系；
（Ⅱ）求排管的最小費用及相應的角α．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線AE排水管l1，在路南側沿直線CF排水管l2，現要在矩形區(qū)域ABCD內沿直線EF將l1與l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為α．矩形區(qū)域ABCD內的排管費用為W．
（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江蘇南京金陵中學高三第一學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l1，在路南側沿直線鋪設線路l2，現要在矩形區(qū)域ABCD內沿直線將l1與l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區(qū)域內的鋪設水管的總費用為W．

（1）求W關于α的函數關系式；

（2）求W的最小值及相應的角α．

 

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