Question

請考生從以下三個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．
A．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）直線（t為參數(shù)）被曲線（θ為參數(shù)）所截得的弦長為________；
B．（不等式選講）若存在實(shí)數(shù)x滿足|x-3|+|x-m|＜5，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；
C．（幾何證明選講）若一直角三角形的內(nèi)切圓與外接圓的面積分別是π與9π，則三角形的面積為________．

Answer 1

    -2＜m＜8    7
分析：A 把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式求得弦長．
B 有絕對值的意義知，|x-3|+|x-m|的最小值為|m-3|，故|m-3|＜5，去掉絕對值求得m范圍．
C 如圖：由題意得，三角形的內(nèi)切圓半徑等于1，外接圓的半徑等于3，設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
點(diǎn)C（1，1）為△AOB的內(nèi)心，由點(diǎn)C到AB的距離等于1，及=6，解方程求得 ab，即可求得
三角形的面積 ab 的值．
解答：A 用代入法消去參數(shù)，化為普通的直線方程為 3x-4y-8=0，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
消去參數(shù)θ得到曲線的普通方程為 （x-5）²+（y-3）²=4，表示圓心在（5，3），半徑等于2的圓．
圓心到直線的距離等于=1，故弦長為 2=2．
B 由于|x-3|+|x-m|表示數(shù)軸上的x 到3和m的距離之和，故其最小值為|m-3|，
∵存在實(shí)數(shù)x滿足|x-3|+|x-m|＜5，∴|m-3|＜5，-5＜m-3＜5，-2＜m＜8．
C 由題意得，三角形的內(nèi)切圓半徑等于1，外接圓的半徑等于3，直角三角形的斜邊中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等，
故直角三角形的斜邊長等于6，如圖：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
Rt△AOB中，點(diǎn)C（1，1）為△AOB的內(nèi)心，AB的中點(diǎn)D是△AOB的外心．
，=6=AB，AB的方程為 ，即 bx+ay-ab=0．
由題意知，點(diǎn)C到AB的距離等于1，∴=1，∴|b+a-ab|=6，
b+a-ab=6 ①，b+a-ab=-6 ②．
把①移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²+12ab+36，∴ab=0（舍去），或 ab=-10（舍去），
把②移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²-12ab+36，∴ab=0（舍去） 或 ab=14，
故三角形的面積為 ab=7．
故答案為 A 2； B-2＜m＜8； C 7．
，
點(diǎn)評：本題考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，絕對值不等式的解法，點(diǎn)到直線的距離公式的
應(yīng)用．