Question

已知向量

m

=(2sin

x

4

，2sin2

x

4

-1)，

n

=(cos

x

4

，-

3

)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出相應(yīng)x的取值集合；
（2）若f(α+

π

3

)=

10

5

，且α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）表示出來并化簡(jiǎn)，利用三角知識(shí)即可求得；
（2）先由f(α+

π

3

)=

10

5

求出cos

α

2

，再用倍角公式求出cosα，據(jù)平方關(guān)系求出sinα，從而可求tanα．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=2sin

x

4

cos

x

4

+

3

(1-2sin2

x

4

)=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，
所以，當(dāng)

x

2

+

π

3

=2kπ+

π

2

，即當(dāng)x=4kπ+

π

3

(k∈Z)時(shí)，f（x）_max=2．
所以函數(shù)f（x）的最大值為2，此時(shí)x的取值集合為：{x|x=4kπ+

π

3

(k∈Z)}．
（2）由（1）得：f(α+

π

3

)=2sin(

α

2

+

π

2

)=2cos

α

2

，
由f(α+

π

3

)=

10

5

，可得cos

α

2

=

10

10

，
從而cosα=2cos2

α

2

-1=-

4

5

，
由于α∈（0，π），所以sinα=

3

5

．
于是，tanα=

sinα

cosα

=-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等三角知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算及變形能力，具有一定綜合性．