Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CD上移動(dòng)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，試判斷直線EF與平面PAC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求證：PE⊥AF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC，欲證EF∥平面PAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAC內(nèi)一直線平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥PC，PC?平面PAC，EF?平面PAC，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證PE⊥AF，而PE?平面PDC，可先證AF⊥平面PDC，根據(jù)CD⊥平面PAD，有線面垂直的性質(zhì)可知AF⊥CD，根據(jù)等腰三角形可知AF⊥PD，CD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC．（2分）
理由如下：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點(diǎn)，∴EF∥PC．（3分）
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．（8分）
∵PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．（10分）
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．（11分）
∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面的判定，以及線面垂直的判定和性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．