Question

如圖，已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為
F₁（-c，0）、F₂（c，0），點A（c，b），B（0，b），O為坐標(biāo)原點，直線OA與直線F₂B的交點在雙曲線E上．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）設(shè)直線F₁A與雙曲線E 交于M、N兩點，

F1M

=λ

MA

，

F1N

=μ

NA

，若λ+μ=4，求雙曲線E的方程．
（3）在（2）的條件下，過點B的直線與雙曲線E相交于不同的兩點P、Q，求

BP

•

BQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將F₂B的中點(

c

2

，

b

2

)代入雙曲線E的方程可得

c2

4a2

-

1

4

=1，由此能導(dǎo)出e．
（2）由e=

5

得a2=

1

2

b2，化簡方程E為4x²-y²=b²，又直線F₁A的方程為y=

b

2c

(x+c)，代入雙曲線E化簡得（20b²-1）y²-20by+4b²=0，由此能得到所求雙曲線E的方程．
（3）由B（0，1），設(shè)直線BP的方程為y=kx+1，代入雙曲線E的方程4x²-y²=1，得（4-k²）x²-2kx-2=0，記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 2k 4-k2 x1x2 =- 2 4-k2 △=32-4k2＞0

，由此能得到

BP

•

BQ

的取值范圍．

解答：解：（1）將F₂B的中點(

c

2

，

b

2

)代入雙曲線E的方程可得：

c2

4a2

-

1

4

=1　
則e=

5

．
（2）由e=

5

得a2=

1

2

b2，化簡方程E為：
4x²-y²=b²
又直線F₁A的方程為y=

b

2c

(x+c)，即x=c(

2y

b

-1)，
代入雙曲線E化簡得：
（20b²-1）y²-20by+4b²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴

y1+y2= 20b 20b2-1 y1y2= 4b2 20b2-1

由題意知，λ=

|F 1M|

|MA|

=

y1

b-y1

，μ=

|F1N|

|NA|

=

y2

b-y2

，
則λ+μ=

y1

b-y1

+

y2

b-y2

=

b(y1+y2)-2y1y2

b2-b(y1+y2)+y1y2

=

12

20b2-17

=4，
∴b²=1，
即b=1
故所求雙曲線E的方程為4x²-y²=1
（3）由（2）知B（0，1），由題意可設(shè)直線BP的方程為：
y=kx+1
代入雙曲線E的方程4x²-y²=1，化簡得：
（4-k²）x²-2kx-2=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

x1+x2= 2k 4-k2 x1x2 =- 2 4-k2 △=32-4k2＞0

　　　
∴k²＜8

BP

•

BQ

=(x1，y1-1)  •(x2，y2-2)=

2(1+k2)

k2-4

，
令

BP

•

BQ

=m，則k2=

4m+2

m-2

∵0≤k²≤8　　
∴0≤

4m+2

m-2

＜8，
解得m≤-

1

2

或m＞

9

2

，
故所求

BP

•

BQ

的取值范圍為（-∞，-

1

2

]∪(

9

2

，+∞)∪(

9

2

，+∞)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．