Question

王老師給出一道題：定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)，學(xué)生甲、乙、丙、丁各給出關(guān)于函數(shù)的一條性質(zhì)：
甲：f（x+2）=f（x）　　　　　　　　　乙：f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)
丙：f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱　　 丁：f（x）在R上有最大（�。┲�
王老師看后說(shuō)：“其中恰有三條正確，一條不正確”，請(qǐng)問是誰(shuí)給出了錯(cuò)誤的性質(zhì)？

1. A.
   甲
2. B.
   乙
3. C.
   丙
4. D.
   丁

Answer 1

B
分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函數(shù)周期；根據(jù)偶函數(shù)f（x）在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，且在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)可得函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增可判斷乙，結(jié)合函數(shù)的周期判斷丁正；由f（x+2）=f（x）=f（-x）可得f（2-x）=f（x）從而可判斷丙．
解答：∵f（x+1）=-f（x）∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函數(shù)的周期為2，故甲正確
由函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)f（x）可得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間[-1，0]上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，故乙錯(cuò)誤，結(jié)合函數(shù)的周期可知丁正確
∵f（x+2）=f（x）=f（-x）
∴f（2-x）=f（x）即函數(shù)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．故丙正確
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的周期等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及一些常見的函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)論．