Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).

（I）求證：AF//平面PCE；

（II）求證：平面平面PCD；

（III）求四面體PEFC的體積.

 

Answer 1

【答案】

(1)設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接FG，EG，根據(jù)中位線定理得到FG平行且等于一半的CD，AE平行且等于一半的CD，進(jìn)而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．

(2)根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．

(3)

【解析】

試題分析：

解：（1）證明：設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接FG，EG，∵F為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，

∴FG//=CD，AE//CD∴FG//AE，∴AF∥GE∵GE?平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG為四面體PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD， EG=AF=，GF=CD= S_△PCF= PD?GF=2．得四面體PEFC的體積V= S_△PCF?EG= ．

考點(diǎn)：線面垂直

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理．考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運(yùn)用能力．