Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點（2，$\frac{41}{9}$），求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)過點，代入進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{1}{2}$（a^-x+a^x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）=f（x），
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點（2，$\frac{41}{9}$），
則f（2）=$\frac{1}{2}$（a²+a^-2）=$\frac{41}{9}$，
即a²+a^-2=$\frac{82}{9}$，
即a⁴-$\frac{82}{9}$a²+1=0
即9a⁴-82a²+9=0，
解得a²=9或a²=$\frac{1}{9}$
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=$\frac{1}{3}$．  
即f（x）=$\frac{1}{2}$（3^x+3^-x）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)解析式的求法，考查學(xué)生的計算能力，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．