Question

為了適應(yīng)新課改的要求，某重點(diǎn)高中在高一500名新生中開(kāi)設(shè)選修課．其中某老師開(kāi)設(shè)的《趣味數(shù)學(xué)》選修課，在選課時(shí)設(shè)第n次選修人數(shù)為a_n個(gè)，且第n（n≥2）次選課時(shí)，選《趣味數(shù)學(xué)》的同學(xué)人數(shù)比第n-1次選修人數(shù)的一半還多15人．
（1）當(dāng)a₁≠30時(shí)，寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推公式，并證明數(shù)列{a_n-30}是一個(gè)等比數(shù)列；
（2）求出用a₁和n表示的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．如果選《趣味數(shù)學(xué)》的學(xué)生越來(lái)越多，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，an=

1

2

an-1+15（其中n≥2），即an-30=

1

2

(an-1-30)；由a₁≠30，得a₁-30≠0，知{a_n-30}是等比數(shù)列；
（2）由（1）得an-30=(a1-30)•(

1

2

)n-1，即an=30+(a1-30)•(

1

2

)n-1，可得a_n-a_n-1＞0，從而得a₁的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，有an=

1

2

an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=

1

2

(an-1-30)，
又a₁≠30，即a₁-30≠0，
故{a_n-30}是一個(gè)以（a₁-30）為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(

1

2

)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(

1

2

)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(

1

2

)n-1-(

1

2

)n-2]=(30-a1)•(

1

2

)n-1＞0．
∴a₁的取值范圍是：0≤a₁＜30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義和遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真分析，以免出錯(cuò)．