Question

已知橢圓C₁的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C₂的頂點在原點、焦點在x軸上．小明從曲線C₁，C₂上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標（x，y）．由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C₁上，也不在拋物線C₂上．小明的記錄如下：

x	-2	- 2	0	2	2 2	3
y	2	0	6	-2 2	2	-2 3

據(jù)此，可推斷橢圓C₁的方程為

x2

12

+

y2

6

=1

．

Answer 1

分析：由題意可知：點(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個端點，或點(-

2

，0)是橢圓C₁的長軸的一個端點．分此兩種情況討論：再假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px或y²=-2px驗證即可．

解答：解：由題意可知：點(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個端點，或點(-

2

，0)是橢圓C₁的長軸的一個端點．以下分兩種情況討論：
①假設(shè)點(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個端點，則C₁可以寫成

x2

a2

+

y2

6

=1，經(jīng)驗證可得：若點(2

2

，

2

)在C₁上，代入求得a²=12，即

x2

12

+

y2

6

=1，剩下的4個點中（-2，2）也在此橢圓上．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px，把點(2，-2

2

)代入求得p=2，∴y²=4x，則點(3，-2

3

)，則只剩下一個點(-

2

，0)既不在橢圓上，也不在拋物線上，滿足條件．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=-2px，經(jīng)驗證不符合題意．
②假設(shè)點(-

2

，0)是橢圓C₁的長軸的一個端點，則C₁可以寫成

x2

2

+

y2

b2

=1，經(jīng)驗證不滿足條件，應(yīng)舍去．
綜上可知：可推斷橢圓C₁的方程為

x2

12

+

y2

6

=1．
故答案為

x2

12

+

y2

6

=1．

點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質(zhì)和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．