Question

已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上．小明從曲線C₁，C₂上各取若干個(gè)點(diǎn)（每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)），并記錄其坐標(biāo)（x，y）．由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓C₁上，也不在拋物線C₂上．小明的記錄如下：

x	-2	- 2	0	2	2 2	3
y	2	0	6	-2 2	2	-2 3

據(jù)此，可推斷橢圓C₁的方程為

x2

12

+

y2

6

=1

．

Answer 1

分析：由題意可知：點(diǎn)(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，或點(diǎn)(-

2

，0)是橢圓C₁的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)．分此兩種情況討論：再假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px或y²=-2px驗(yàn)證即可．

解答：解：由題意可知：點(diǎn)(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，或點(diǎn)(-

2

，0)是橢圓C₁的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)．以下分兩種情況討論：
①假設(shè)點(diǎn)(0，

6

)是橢圓C₁的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C₁可以寫成

x2

a2

+

y2

6

=1，經(jīng)驗(yàn)證可得：若點(diǎn)(2

2

，

2

)在C₁上，代入求得a²=12，即

x2

12

+

y2

6

=1，剩下的4個(gè)點(diǎn)中（-2，2）也在此橢圓上．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=2px，把點(diǎn)(2，-2

2

)代入求得p=2，∴y²=4x，則點(diǎn)(3，-2

3

)，則只剩下一個(gè)點(diǎn)(-

2

，0)既不在橢圓上，也不在拋物線上，滿足條件．
假設(shè)拋物線C₂的方程為y²=-2px，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意．
②假設(shè)點(diǎn)(-

2

，0)是橢圓C₁的長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C₁可以寫成

x2

2

+

y2

b2

=1，經(jīng)驗(yàn)證不滿足條件，應(yīng)舍去．
綜上可知：可推斷橢圓C₁的方程為

x2

12

+

y2

6

=1．
故答案為

x2

12

+

y2

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．