Question

MN為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的垂直于實軸的動弦，P，Q為雙曲線C的項點，直線MQ與直線PN交于點F，直線NQ與直線PM交于點E，則下列說法：
①存在a，b＞0及動弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點共圓；
②對任意a，b＞0，都存在動弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點共圓；
③存在a，b＞0及動弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點共橢圓，且PQ為橢圓的長軸；
④存在a，b＞0及動弦MN，使得P，E，Q，F(xiàn)四點共橢圓，且PQ為橢圓的短軸．
其中正確的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意設出M，N的坐標，結合點P，Q的坐標，表示出直線MQ和直線NP，根據(jù)直線MQ與直線PN交于點F，直線NQ與直線PM交于點E，確定出點E，F(xiàn)的軌跡方程，即可判斷各選項的正誤，從而得到答案．

解答：解：∵MN為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的垂直于實軸的動弦，
∴設M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），F(xiàn)（x，y），
∵P，Q為雙曲線C的項點，
∵P（-a，0），Q（a，0），
∴直線l_MQ：y=

y0

x0-a

(x-a)，直線l_NP：y=

-y0

x0+a

(x+a)，
上述兩式相乘得，y2=

-y02

x02-a2

(x2-a2)，
將

x02

a2

-

y02

b2

=1代入上式，消元化簡得，C′：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)，
∴點E，F(xiàn)的軌跡方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)，
當a=b時，上式表示圓的方程，
當a≠b時，上式表示橢圓，且PQ為長軸還是短軸取決于a，b的大小，
綜上所述，可知選項①③④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了圓錐曲線的共同特征，涉及了求點的軌跡方程的求解，屬于圓錐曲線中的探索性問題，有一定的能力要求．屬于難題．