MN為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的垂直于實軸的動弦,P,Q為雙曲線C的項點,直線MQ與直線PN交于點F,直線NQ與直線PM交于點E,則下列說法:
①存在a,b>0及動弦MN,使得P,E,Q,F(xiàn)四點共圓;
②對任意a,b>0,都存在動弦MN,使得P,E,Q,F(xiàn)四點共圓;
③存在a,b>0及動弦MN,使得P,E,Q,F(xiàn)四點共橢圓,且PQ為橢圓的長軸;
④存在a,b>0及動弦MN,使得P,E,Q,F(xiàn)四點共橢圓,且PQ為橢圓的短軸.
其中正確的序號是
①③④
①③④
分析:根據(jù)題意設出M,N的坐標,結合點P,Q的坐標,表示出直線MQ和直線NP,根據(jù)直線MQ與直線PN交于點F,直線NQ與直線PM交于點E,確定出點E,F(xiàn)的軌跡方程,即可判斷各選項的正誤,從而得到答案.
解答:解:∵MN為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的垂直于實軸的動弦,
∴設M(x0,y0),N(x0,-y0),F(xiàn)(x,y),
∵P,Q為雙曲線C的項點,
∵P(-a,0),Q(a,0),
∴直線lMQ:y=
y0
x0-a
(x-a)
,直線lNP:y=
-y0
x0+a
(x+a)
,
上述兩式相乘得,y2=
-y02
x02-a2
(x2-a2)
,
x02
a2
-
y02
b2
=1
代入上式,消元化簡得,C′:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a,b>0)
,
∴點E,F(xiàn)的軌跡方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a,b>0)
,
當a=b時,上式表示圓的方程,
當a≠b時,上式表示橢圓,且PQ為長軸還是短軸取決于a,b的大小,
綜上所述,可知選項①③④正確.
故答案為:①③④.
點評:本題考查了圓錐曲線的共同特征,涉及了求點的軌跡方程的求解,屬于圓錐曲線中的探索性問題,有一定的能力要求.屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知以原點O為中心,F(
5
,0)
為右焦點的雙曲線C的離心率e=
5
2

(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程;
(2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求△OGH的面積.精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形,則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以拋物線y2=4
3
x
的焦點為一個焦點,且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4.(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且相似比為2,求橢圓C2的方程.
(2)已知點P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任一點,若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y
異于原點的交點,證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上.
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直線l上,B,D在曲線Cb上,若存在求出函數(shù)f(b)=SABCD的解析式及定義域,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知,橢圓C以雙曲線x2-
y23
=1
的焦點為頂點,以雙曲線的頂點為焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(M、N不是左右頂點),且以線段MN為直徑的圓過點A(2,0),求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過雙曲線C:x2-
y2
m2
=1
的右頂點A作兩條斜率分別為k1、k2的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點,其k1、k2滿足關系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0,k1>k2
(1)求直線MN的斜率;
(2)當m2=2+
3
時,若∠MAN=60°,求直線MA、NA的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:武漢模擬 題型:解答題

過雙曲線C:x2-
y2
m2
=1
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(1)求直線MN的斜率;
(2)當m2=2+
3
時,若∠MAN=60°,求直線MA、NA的方程.

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