Question

18．已知曲線C的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數），在同一平面直角坐標系中，將曲線C上的點按坐標變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得到曲線C'．
（1）以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C'的極坐標方程；
（2）若點A在曲線C'上，點B（3，0），當點A在曲線C'上運動時，求AB中點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用坐標轉移，代入參數方程，消去參數可求曲線C′的普通方程，即可求曲線C'的極坐標方程；
（2）設P（x，y），A（x₀，y₀），點A在曲線C′上，點B（3，0），點A在曲線C′上，列出方程組，即可求AB中點P的軌跡方程．

解答 解：（1）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$代入坐標變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{1}{3}x}\\{y'=\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$得C'的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$
∴曲線C'的普通方程為x²+y²=1，
∴曲線C'的極坐標方程ρ=1．…（5分）
（2）設P（x，y），A（x₀，y₀），又B（3，0），且AB中點為P
所以有：x₀=2x-3，y₀=2y
又點A在曲線C'上，∴代入C'的普通方程x₀²+y₀²=1得（2x-3）²+（2y）²=1
∴動點P的軌跡方程為（2x-3）²+（2y）²=1．…（10分）

點評 本題考查參數方程和直角坐標的互化，利用直角坐標方程與參數方程間的關系，點到直線的距離公式的應用，考查計算能力．